九上期末质检复习系列——纯函数系列（10）
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用及转载，违者必究！
如果对您的教学有所帮助，请点击“初中数学延伸课堂”或扫描底部二维码关注，您的分享转发，给予我的是动力和信心！
已知二次函数y=ax2+bx+c，
（1）若a=3，b=2，c=1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a=3，b=2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若b=0，且当x=1时，有﹣1≤y≤2；当x=2时，有﹣3≤y≤5．试问当x=3时，y的取值范围．（请直接写出答案）
——试题来源于网络
【图文解析】
（1）简析：依题意，得y=3x2+2x+1，
令y=0，得到3x2+2x﹣1=0，解得x=﹣1或1/3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1/3，0）．
（2）基本思路：首先确保抛物线与x轴有交点，再讨论在﹣1＜x＜1的范围内交点的情况：利用抛物线的“连续不间断性”，根据在当x=－1和1的函数值的符号来确定.
当a=3，b=2时，抛物线为y＝3x2+2x+c，因抛物线与x轴有公共点，因此判别式△=4﹣12c≥0，解得c≤1/3．
①当c=1/3时，如下图示：
由方程3x2+2x+1/3=0，解得x1=x2=﹣1/3．此时抛物线与x轴只有一个公共点（﹣1/3，0），符合题意.
②当c＜1/3时，
当x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；当x2=1时，y2=3+2+c=5+c；
所以当抛物线经过（-1，0）时，1+c =0，c=-1，当抛物线经过（1，0）时，5+c＝0，得c=－5.如下图示：
又由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=﹣1/3，应有y1≤0，且y2＞0. 如下图示，
综合①，②得c的取值范围是：c=1/3或﹣5＜c≤﹣1．
（3）首先由已知，不难得到：
由当x=1时，﹣1≤y≤2得：
﹣1≤a﹣c≤2……①
由当x=2时，﹣3≤y≤5得：
﹣1≤4a﹣c≤5……②
而当x=3时，y=9a﹣c.
接下来，要想方设法用不等式①和②求出9a﹣c的取值范围。当然可以先分别求a和c的取值范围、再代入求出——相对较繁较难；也可将9a﹣c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式，然后利用不等式的性质，用“a﹣c”和“4a﹣c”整体代入求出9a﹣c的取值范围。
为此可设9a﹣c=m(a﹣c)+n(4a﹣c)(m、n为常数).化简整理得，9a﹣c＝（m+4n）a+(m+n)c.则有：
【反思】抛物线与x轴的交点的坐标特点及二次函数的性质（增减性即单调性（高中概念））、不等式的性质等知识，解题的关键是：①用分类讨论的思想思考问题，②将9a－c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式——用的方法就是方程思想.
特别说明：
进入公众号，回复“1,2,3,4……12”中的任意一个数字，可查找到相应资料.如果您觉得本公众号有点价值的话，请麻烦帮忙分享、转发。谢谢！您的分享和转发，给予我的是强大的动力，给予我的是坚持下去的信心。
1.几何画板视频教程（622分钟）
2.精彩回顾（所有文章）
3.上学期培优系列汇总
4.中考复习（视频资源）
5.一个公式还原魔方
6.2017中考压轴分类
7.本人云课网站详细目录
8.2017年中考压轴解析
9.2017年中考填选压轴
10.中考第一轮复习文档下载地址和密码
11.中考第一轮复习34课时
12.优思数学网app
您的分享和转发，给予我的是动力和信心！
特别推荐：
下面是本公众号和对应“课件制作学习交流群（178733124）”的相关二维码，可扫码加入.